Gerçek cisimden matematiksel kavrayışa: Geometri, aritmetik ve formülasyonun doğal sırası

İnsan ile matematik arasındaki ilişkinin başlangıç noktasını arayan bir araştırmacı, çoğu zaman sayılardan hareket etmeye eğilim gösterir. Matematik denildiğinde akla ilk gelen şey rakamlar, işlemler ve formüllerdir. Eğitim sistemleri de büyük ölçüde bu algıyı beslemektedir. Çocuk okul hayatına başladığında karşısına çıkan ilk matematiksel semboller rakamlar olmakta, daha sonra toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri öğretilmektedir. Bu süreç ilerledikçe cebirsel ifadeler, denklemler ve fonksiyonlar devreye girmektedir. Böyle bir eğitim sıralaması matematiğin doğal gelişim çizgisi hakkında belirli bir kanaat üretmektedir. Bu kanaate göre matematik sayılarla başlamakta, daha sonra karmaşıklaşarak geometriye, cebire ve diğer alanlara doğru genişlemektedir. Oysa insan zihninin işleyişine, matematik tarihine ve bilişsel gelişim süreçlerine birlikte bakıldığında farklı bir tablo ortaya çıkmaktadır. İnsan zihni dünyayı sayı olarak görmeye başlamaz. İlk karşılaşılan şey nesnedir; nesnenin biçimi, konumu, hareketi ve çevresiyle kurduğu ilişkidir. Matematiksel düşünce bu ilişkilerin fark edilmesiyle doğar. Yeni doğan bir çocuğun dünyasında 3 sayısı, 5 sayısı veya 10 sayısı bulunmaz. Buna karşılık yüzler, yönler, mesafeler ve hareketler vardır. Çocuk annesinin yüzünü diğer yüzlerden ayırabilir, yaklaşan bir nesneyi takip edebilir, yakın ile uzağı zamanla birbirinden ayırt etmeye başlayabilir. Bu süreçte henüz aritmetik işlem yapılmamaktadır. Buna rağmen matematiksel kavrayışın ilk temelleri atılmaktadır. Çünkü insan zihni başlangıçtan itibaren uzamsal ilişkileri işlemektedir. Gelişim psikolojisi alanındaki araştırmalar, çocukların mekânsal farkındalıklarının niceliksel farkındalıklarından daha erken ortaya çıktığını göstermektedir. Jean Piaget, çocukların sayı kavramına ulaşmadan önce nesnelerin dizilişlerini, büyüklüklerini ve konumlarını ayırt etmeye başladıklarını belirtmektedir. ¹ Bu gözlem matematik eğitiminin temel varsayımlarından bazılarını yeniden düşünmeyi gerektirmektedir. Matematik tarihine bakıldığında da benzer bir durum görülmektedir. Nil Nehri’nin taşkınlarından sonra arazi sınırlarının yeniden belirlenmesi ihtiyacı eski Mısır’da geometrik düşüncenin gelişmesine katkı sağlamıştır. Mezopotamya’da tahıl depolarının ölçülmesi, tapınakların inşası ve ticari kayıtların tutulması nicelik düşüncesini geliştirmiştir. Antik Yunan’da ise geometri matematiğin merkezine yerleşmiştir. Bugün matematik denildiğinde akla gelen birçok konu sayı eksenli görünmesine rağmen, Antik Yunan matematiğinin omurgasını geometrik ilişkiler oluşturmaktadır. Öklid’in Elementler adlı eseri bunun en önemli örneğidir. Eserin ilk sayfalarında okuyucu herhangi bir cebirsel formülle karşılaşmaz. Nokta, doğru, yüzey ve şekil kavramları üzerinden kurulan mantıksal bir yapı bulunmaktadır.² Bu durum tesadüf değildir. Çünkü insan zihni gerçekliği önce biçim olarak kavramaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken husus, geometrinin şekillerden ibaret bir alan olarak anlaşılmamasıdır. Geometri çoğu zaman üçgenler, kareler ve daireler üzerinden tanıtılmaktadır. Böyle bir yaklaşım geometrinin mahiyetini daraltmaktadır. Geometri esas itibarıyla ilişkilerin görünür hâle gelmesidir. Bir ağacın gövdesi ile dalları arasındaki oranlar, bir nehrin yatağı boyunca izlediği güzergâh, bir yapının taşıyıcı kolonları arasındaki denge veya gök cisimlerinin hareketleri geometrik ilişkiler içermektedir. İnsan zihni çevresindeki dünyayı anlamlandırırken bu ilişkileri fark etmektedir. Matematiksel düşüncenin ilk adımı da burada ortaya çıkmaktadır. Bir içecek kutusunun öğrencinin önünde durduğunu düşünelim. Bu nesne başlangıçta matematiksel bir problem değildir. Metalden yapılmış, belirli bir ağırlığı bulunan ve içinde sıvı taşıyan sıradan bir nesnedir. Öğrenci önce bu nesneyi görür. Sonra yüksekliğini fark eder. Ardından üst ve alt yüzeylerinin biçimini algılar. Eline aldığında çevresini hisseder. Bu süreçte zihnin yaptığı iş, nesneyi bütünüyle kaydetmek değildir. İnsan zihni dikkatini belirli ilişkilere yoğunlaştırır. Renkler, yazılar ve markalar zamanla arka planda kalırken biçimsel düzen öne çıkmaya başlar. Böylece nesne geometrik bir temsile dönüşür. İçecek kutusu artık bir silindir olarak görülmektedir. Bu dönüşüm matematiksel kavrayış açısından son derece önemlidir. Çünkü zihin ilk kez belirli bir nesneden genel bir biçime geçmektedir. Geometri tam olarak bu geçiş alanında ortaya çıkar. Platon’un geometriye verdiği önem de burada anlaşılabilir hâle gelir. Platon, duyusal dünyada görülen şeylerin sürekli değişim içinde olduğunu, buna karşılık zihnin değişmeyen düzenleri aradığını belirtmektedir. ³ Geometrik biçimler bu değişmeyen düzenlerin görünür hâle gelmesini sağlar. Bir silindir tek bir nesneyi değil, belirli özellikleri paylaşan sonsuz sayıdaki nesneyi temsil eder. Böylece insan zihni tekilden tümele doğru hareket etmeye başlar. Geometrik temsil ortaya çıktıktan sonra yeni bir ihtiyaç doğmaktadır. İnsan zihni biçimi görmekle yetinmez; onu ölçmek ister.