Cebir: İlişkilerin dili ve matematiksel soyutlamanın ikinci büyük eşiği (5)

İnsan zihninin matematiksel yolculuğu gerçek cisimlerle başlamakta, geometrik kavrayışla devam etmekte ve sayıların ortaya çıkışıyla yeni bir aşamaya ulaşmaktadır. Bu süreç dikkatle incelendiğinde sayıların matematiksel düşüncenin son noktası değil, daha ileri bir soyutlama düzeyine geçiş için oluşturulmuş bir ara basamak olduğu görülmektedir. Matematik tarihi de insan zihninin bilişsel gelişimi de bu gerçeği doğrulamaktadır. Sayılar ortaya çıktıktan sonra insan zihni uzun süre belirli nicelikler üzerinde çalışmıştır. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri sayesinde nesneler arasındaki ilişkiler daha hassas biçimde ifade edilmeye başlanmıştır. Fakat zamanla yeni bir problem ortaya çıkmıştır. Sayılar belirli durumları açıklayabiliyor, fakat çok sayıdaki farklı durum arasında bulunan ortak yapıyı görünür hâle getirmekte yetersiz kalıyordu. İşte cebir in doğuşu bu ihtiyaçtan kaynaklanmıştır. Bir çiftçi her yıl farklı miktarlarda ürün elde edebilir. Bir tüccar her ay farklı miktarda mal satabilir. Bir mimar farklı büyüklüklerde yapılar inşa edebilir. Her durumda belirli sayılar bulunmaktadır. Buna karşılık bu olayların arkasında tekrar eden ilişkiler de vardır. İnsan zihni bir noktadan sonra belirli sayıların ötesine geçerek bu ilişkilerin kendisini incelemeye başlamıştır. Matematik tarihinde yaşanan en büyük dönüşümlerden biri budur. İlgi odağı niceliklerden ilişkilere kaymıştır. Bu dönüşümün anlaşılabilmesi için aritmetik ile cebir arasındaki farkın doğru kavranması gerekir. Aritmetik belirli sayılarla çalışmaktadır. Beş elma ile üç elmanın toplamı sekiz elmadır. On iki metre uzunluğundaki bir yolun yarısı altı metredir. Yirmi kilogramlık bir yük iki eşit parçaya bölündüğünde her parça on kilogram olur. Bu örneklerde kullanılan sayıların tamamı belirli nicelikleri ifade etmektedir. Cebir ortaya çıktığında ise dikkat belirli sayılardan çok, sayılar arasındaki ortak ilişkilere yönelmektedir. Beş ile üç arasındaki ilişki, yedi ile dört arasındaki ilişki veya yüz ile elli arasındaki ilişki farklı örnekler gibi görünse de belirli ortak yapılar taşımaktadır. Cebir bu ortak yapıları görünür hâle getiren dil hâline gelmiştir. Bu nedenle cebirin ortaya çıkışı matematik tarihindeki ikinci büyük soyutlama aşaması olarak değerlendirilebilir. İlk büyük soyutlama gerçek cisimlerden geometrik temsillere geçiş sırasında yaşanmıştır. Bir ağacın belirli bir şekle, bir taşın belirli bir hacme veya bir yapının belirli bir geometrik düzene dönüştürülmesi bu sürecin ürünüdür. İkinci büyük soyutlama ise sayılardan ilişkilere geçiş sırasında ortaya çıkmaktadır. İnsan zihni artık belirli niceliklerle değil, nicelikler arasındaki yapılarla ilgilenmeye başlamaktadır. fazla oku Bu bölüm, konuyla ilgili referans noktalarını içerir. (Related Nodes field) Bu noktada tarihsel süreç son derece öğreticidir. Babil matematiğinde ve eski Mısır matematiğinde cebirsel problemlere rastlanmaktadır. Fakat bunlar çoğu zaman sözlü ifadeler hâlinde yer almaktadır. Sistemli cebirsel düşüncenin gelişmesi daha uzun bir süreç gerektirmiştir. Özellikle Muhammed bin Musa el-Hârizmî tarafından yazılan el-Cebr ve’l-Mukabele adlı eser matematik tarihinde yeni bir dönemin başlangıcı kabul edilmektedir. ¹ Hârizmî’nin yaptığı şey belirli problemlerin çözümlerini vermekten daha fazlasıdır. O, problemlerin arkasındaki ortak yapıları görünür hâle getirmeye çalışmıştır. Böylece cebir matematiksel düşüncenin bağımsız bir alanı hâline gelmiştir. Burada dikkat çekici olan nokta, cebirin sayıların ortadan kaldırılmasıyla değil, sayıların genelleştirilmesiyle ortaya çıkmış olmasıdır. Modern eğitim sistemlerinde öğrenciler çoğu zaman cebirle karşılaştıklarında harflerin neden kullanıldığını anlamakta zorlanmaktadır. Çünkü daha önce sayılarla işlem yapmaya alışmışlardır. Bir anda x, y veya z gibi semboller ortaya çıkmaktadır. Bu semboller öğrenciye yabancı görünmektedir. Oysa cebirsel semboller bilinmeyen varlıklar değildir. Belirli sayılar yerine geçen genel temsil araçlarıdır. Örneğin bir dikdörtgen düşünelim. Uzun kenarı 5 santimetre, kısa kenarı 3 santimetre olsun. Alan hesaplandığında sonuç 15 santimetrekaredir. Uzun kenar 8 santimetreye, kısa kenar 4 santimetreye çıktığında sonuç 32 santimetrekare olmaktadır. İnsan zihni bu örnekleri tekrar tekrar gördüğünde ortak yapıyı fark etmeye başlar. Alan her durumda uzunluk ile genişliğin çarpımına eşittir. İşte cebir bu ortak yapıyı görünür hâle getirmektedir. Böylece belirli sayılar yerine genel ilişkiler konuşulmaya başlanmaktadır. Bu süreç aslında insan zihninin doğal çalışma biçimiyle uyumludur. İnsan çevresindeki dünyayı anlamlandırırken sürekli genelleştirmeler yapmaktadır. Çocuk bir kez ateşe dokunduğunda elinin yandığını öğrenir. Daha sonra farklı ateş türleriyle karşılaştığında her birini yeniden denemesi gerekmez. Ortak ilişkiyi kavramıştır. Benzer şekilde matematiksel düşünce de belirli örneklerden hareketle genel yapıları ortaya çıkarmaktadır. Cebir bu genelleştirme yeteneğinin matematiksel ifadesidir. Jean Pia